A Treatise on the Theory of Screws

520 THE THEORY OF SCREWS. Ball (R. S.)—On the small oscillations of a Rigid Body about a fixed point under the action of any forces, and, more particularly, when gravity is the only force acting. Transactions of the Royal Irish Academy; Vol. xxiv., pp. 593-628 (January 24, 1870). Certain dynamical problems which are here solved for the rotation of a body round a point were solved in subsequent papers for a body restricted in any manner whatever. Some of the chief results obtained are given in § 197. I his paper has its geometrical basis in the following theorem, due apparently to D’Alembert. Recherches sur la Precession des Kquinoxes, Paris, 1749, p. 83. Any small displacement of a rigid body rotating around a fixed point can be produced by the rotation around an axis passing through the point. In 1776 Euler proved that the same law was true for displacements of finite magnitude. Formulae generates pro translations quacunque corporum Rigidorum. Novi Commentarii Academiae Petropolitanae; Vol. xx., pp. 189-207. Klein (F.)—Notiz betreffend den Zusammenhang der Liniengeometrie mit der Mechanik starrer Körper. Math. Ann.; Vol. iv., pp. 403-415 (June, 1871). Among many interesting matters this paper contains the germ of the physical conception of reciprocal screws. We thus read on p. 413:—“.Es lässt sich nun in dei- Ihat ein physikalischer Zusammenhang zwischen Kräftesystemen und unend- lich kleinen Bewegungen angeben, welcher es erklärt, wie so die beiden Dinge mathematisch eo-ordinirt auftreten. Diese Beziehung ist nicht von der Art, dass sie jedem Kräftesystem eine einzelne unendlich kleine Bewegung zuordnet, sondern sie ist von anderer Art, sie ist eine dualistiche. Ks sei ein Kräftesystem mit don Coordinaten B, H, Z, A, M, N, und eine unendlich kleine Bewegung mit den Coordinaten H', 11', Z', A', M', N gegeben, wobei man die Coordinaten in der im § 2 besprochenen Weise absolut bestimmt haben mag. Dann repräsentiert, wie hier nicht weiter nachgewiesen werden soll, der Ausdruck A'H + M'N + N'Z + ,S'A + H'M + Z'N das Quantum von Arbeit, welches das gegebene Kräftesystem bei Eintritt der gegebenen unendlich kleinen Bewegung leistet. Ist insbesondere A'H + M'H + N'Z + H'A + H'M + Z'N= 0, so leistet das gegebene Kräftesystem bei Eintritt der gegebenen unendlich kleinen Bewegung keine Arbeit. Diese Gleichung nun repräsentirt uns, indem wir einmal H, H, Z, A, M, N, das andere S, 11 , Z , A', M', N' als veränderlich betrachten, den Zusammenhang zwischen Kräftosystemcn und unendlich kleinen Bewegungen.” Ball (R. S.)—-The Theory of Screws—a geometrical study of the kinematics, equilibrium, and small oscillations of a Rigid Body. First memoir. Trans- actions of the Royal Irish Academy, Vol. xxv., pp. 137—217 (November 13, 1871). This is the original paper on the Theory of Screws. At the time this paper was printed (1871) I had no suspicion that the Cylindroid had been ever studied by anyone besides myself. I subsequently learned that the same surface had been investigated by Pliicker two or three years previously (1868-9) in connection with the linear complex (see pp. 20, 517). It also appeared that about the same time (1869) this surface presented itself in the Researches of Battaglini. Indeed, to this mathematician belongs, I believe, the distinction of having been the first to perceive that this particular conoid had a special dynamical significance (see pp. 20, 518). Pliicker and Battaglini were certainly independent discoverers of the