124
Den endelige Analyse.
netop i denne Forbindelse. Den er en Følge af, at
CLXm
Forholdet > hvor m > n, mellem et Led paa venstre
og et Led paa højre Side voxer med voxende (og
positive x\ en Følge, som en Mand, der har beskjæftiget
sig saa meget med Falexempler paa Ligninger vel har
kunnet opdage, selv om han manglede Midlerne til at
opstille et strengt Bevis.
Den af Cardano i hans Løsning af Ligning (3)
anvendte Ligning (2 ) har altsaa altid en, og kun en,
positiv Rod t/, og Cardano opstiller udtrykkelig — y
som negativ Rod (fictd) i Ligning (3). Foruden denne
finder han, som vi saa, at der i det irreduktible Til-
fælde endnu er to positive Rødder. Og den Ligning,
der bestemmer dem,. fremkommer nøtop vod Division
med x 4- y, eller med Differensen mellem x og den
bekjendte Rod —y, en Methode, hvis Udvikling vi videre
skulle følge i 3. Afsnit. At den fremkomne Ligning
af 2. Grad ses endvidere, at den negative Rods Tal-
værdi y er lige stor med Summen af de postive
Rødder. Dette bemærker Cardano udtrykkelig, og idet
han opfatter den Omstændighed, at i Grænsetilfældet
3/ ~ \2j
2
den
eneste positive Rod x er = — ,
2
som et specielt lilfælde heraf, viser han den rigtige
Opfattelse af en Dobbeltrod. Da Ligningerne (2) og (3)
dannes af hinanden ved at ombytte Røddernes Fortegn,
ser Cardano ogsaa, at Ligning (2) i det irreduktible Til-
fælde har 1 positiv og 2 negative Kødder, hvis (numeriske)
Sum er lig den positive.
Disse Resultater fastholder Cabdano saa godt, at
han overfører dem paa almindelige Ligninger af tredie
Grad eller dog paa saadanne, hvor Leddet af 2 den Grad