210
Den endelige Analyse.
mindste Værdi af x er den eneste, som er mindre end
b, og at de mindste Løsninger af Ligningen
bx' — ay'=l (2)
*
udledes af dem af (1) ved y‘ = a — y, x‘ ~b — x.
For nu virkelig at finde de mindste Værdier af
x °£ y> som tilfredsstille Ligning (1), opererer Bachet
først, som naar man søger største fælles Faktor. For
at følge hans Regler ville vi i et mere moderne alge-
braisk Sprog udtrykke disse Operationer ved Ligningerne
a ~ Qi b +
b = q2 rtr2
^n — 2==qnrn — l 4~
z n — i = qn 1 rn 4- 1.
Den sidste Ligning giver umiddelbart, at Ligningen
— 1 f n yp, = 1
tilfredsstilles af xn = 1, yn — qn+i- Idet nu rn =
rn — 2 qn ^n — i, kan denne Ligning omskrives til
rn_x (xn + qn yn) — rn_2yn = 1,
hvoraf følger, at Ligningen
rn — 2 &n — 1 — T'n—iyn — i = — 1
tilfredsstilles af xn — ±=yn og en hel Værdi af yn_x,
hvis Udtryk xn -j- qnyn vi vel her have opskrevet, men
som Bachet beregner ved i Ligningen at indsætte Vær-
dien af cTn_lt Dernæst vil Ligningen
rn — 3%n- 2 rn_2yn_2 = 1
tilfredsstilles af xn_2 =yn_x og en hel Værdi af y n—2>