8. Fermat’s taltheoretiske Sætninger.
223
hvor a = 3, p — 3, <7 = 5, udledet en ny, hvor a og q
ere blevne til 5 og 7.
Den sarnme Methode vil han have anvendt til af
de venskabelige Tal 220 (— 22.5.11) og 284 = (22.71)
at udlede de nye venskabelige Tal 17296 (= 24.23.47)
og 18416 (= 24.1157), altsaa til af en Løsning af de
to Ligninger
(2«+1-l) (p+1) (7 4-1)
= 2« .p . q 4- 2^ . r = (2^ + 1 — 1) (r -j- 1),
hvor p, qogr ere Primtal, at udlede en mere sammensat.
Om sin Methode oplyser han endvidere, at den er
den samme, som han anvender i sin Differentiation.
Derefter maa den have bestaaet i Ligningers Omdannelse
ved i Stedet for en vis Størrelse, som q, at sætte en
anden, som q h, hvad der maa have været forbundet
med Ombytning af a med en ny Værdi, altsaa i simple
algebraiske Omdannelser.
De Resultater, han her meddeler, ere ikke endnu,
hverken naar de sammenlignes med dem, vi have fundet
hos den nysanførte arabiske Forfatter, eller med dem,
som Descartes og Sainte Croix paa samme Tid op-
stillede, synderlig vidtgaaende; men Fermat havde et
methodisk Udgangspunkt, som dels skulde føre ham
langt videre i den samme Art Undersøgelser, dels føre
ham ind paa andre frugtbare Betragtninger.
Det ses saaledes, at. han allerede ved de her
nævnte Undersøgelser har Brug for nøje at kjende
Deleligheden af Tal af Formen 2n — 1. Herom har
han opstillet følgende Sætninger: 2zi—1 er deleligt,
naar n er deleligt; 2n — 2 er deleligt med 2 n, naar n
er et Primtal (dog ikke 2), og i dette Tilfælde er 2n — 1
ikke deleligt med noget andet Primtal end saadanne,
som have Formen 2 rn + 1- Kort efter almindeliggjør