Matematikkens Historie II

226 Den endelige Analyse. stillet den Sætning, at x± + z/4 = Z* ikke kan løses i hele Tal. Denne er almindeligere end den foregaaende; thi hvis man kunde løse Ligningen + z/4 = & i ra- tionale Tal, vilde man paa Grund af dens Homogeneitet ogsaa kunne løse den i hele Tal. Ved Siden af saadanne negative Sætninger, hvortil Fermat er ført ved Forsøget paa. at udvide de Ganilcs Dannelse af retvinklede Trekanter med rationale Sider, har han ogsaa opnaaet positive Resultater i lignende Tilslutning til de Gamle og til Bachet’s ældre Forsøg paa at føre disses Undersøgelser videre. Saaledes havde Bachet af den bestemte Opgave hos Diofant: at finde to Tal, hvis Differens og hvis Kubers Differens ere givne, taget Anledning til at behandle de ubestemte Opgaver: at finde to (rationale) Tal, hvis Kubers Sum eller Differens er lig Differensen mellem to givne Kuber. Fermat viser, at en Mulighedsbetingelse, som Bachet føjer til disse Opgaver, er urigtig, og han tilføjer selv den Sætning, at en Sum af to Kuber paa uendelig mange Maader kan opløses i en Sum af to andre Kuber (af rationale Tal). Denne Sætning supplerer Sætningen om Umuligheden af at tilfredsstille Ligningen j?34-z/3 = ^3 ved rationale Tal. Til en anden, meget omfattende Sætning føres Febmat derved, at Diofant i Løsningen af en Opgave synes at forudsætte, at ethvert Tal kan opløses i en Sum af højst 4 Kvadrater. Bachet søgte forgjæves at bevise dette; det skal være lykkedes for Sainte Croix, og Fermat fandt følgende omfattende Almindeliggjørelse: ethvert Tal kan dannes som en Sum af 1, 2, 3 ... n rz-kantsta]. Med Hensyn til Sammensætningen som Sum af Kvadrattal gaar han videre og undersøger, paa hvor mange Maader en saadan Sammensætning kan finde Sted for givne Tal, samt bestemmer det mindste Tal,