Matematikkens Historie II

8. Fermat’s taltheoretiske Sætninger. 227 som enten selv, eller hvis Kvadrat paa et bestemt Antal Maader kan sammensættes som Sum af to Kvadrattal. Hertil tjene dels Regler gjældende for Primtal af be- stemte Former, dels Regler gjældende for sammensatte Tal. Den vigtigste af Primtalsformerne er 1, hvorom det udsiges, at et Primtal af denne Form selv saavel som dets Kvadrattal kun paa en Maade kan sammen- sættes som en Sum af 2 Kvadrater, dets Kubus og Bikvadrat paa to Maader, dets 5te og 6te Potens paa tre Maader o. s. v. Primtal af Formen 3 n 4 1 kunne skrives som a?2 31/2 og af B^ormen 8/2 -I- 1 og Sri -)-■ 3 som x2 4- 2y2, hvor x og y ere rationale. Forbliver det end en Gaade, hvorledes Fermat har kunnet bevise de meget almindelige Sætninger, hvorpaa vi her have givet nogle af de vigtigste Prøver, har han dog selv meddelt nogen Oplysning om den almindelige Gang i hans Bevisførelse. For at bevise en negativ Sætning gaaende ud paa, at en Opgave f. Ex. den at finde Siderne i en retvinklet Trekant, hvis Areal er et Kvadrat, ikke kan løses ved hele Tal. ef'terviser han, som han siger, at man af en saadan Opløsning vilde kunne udlede en anden i mindre Tal. Om denne vilde det samme gjælde; men da Formindskelsen af hele Tal ikke kan fortsættes i det uendelige, er Opgaven umulig. Vanskeligere faldt det Fermat, som han ligeledes meddeler, at finde en passende Form for fuldstændige Beviser for sine lige saa almindelige positive Sætninger, der gaa ud paa, at Tal af en vis Form altid kunne fremstilles paa en vis Maade. Han naaede dog dette Maa] ved at omskrive de positive Sætninger til negative, svarende til, at, hvad der altid finder Sted, aldrig undlader at finde Sted. Exempelvis anfører han, at det er paa denne Maade, at han beviser sin for Tals Deling i en Sum af Kvadrater særlig vigtige Sætning, 15*