8. Fermat’s taltheoretiske Sætninger. 223
æ = u2, y = v2,
u2 + o2 = p2, a2 — u2 = q2.
Af de to sidste Ligninger faas
2 r2 =/)2 — q2 = (p — q) [p + q).
p q og p q blive begge lige Tal, da ifølge For-
udsætningerne p2 og q2 ere ulige, men de kunne ikke
have andre fælles Faktorer end 2, da u2 og v2 ere ind-
byrdes primiske. Af den fundne Ligning følger altsaa, at
, [ 2 m2 I n2
p + q = \ 2 - p — q = o 2 >
\n2 I 2 m2
hvor n er el lige Tal. Dernæst faas
9 I 9 / 9
9 p- + q- , 2V, .
u~ = -—= (ni2y 4- ( — ) .
o \ Z /
De hele Tal m2 og blive altsaa Sider i en ny ret-
9- 9
77?/*" 7? “
vinklet Trekant med kvadratisk Areal - ,—. At Siderne
4
i denne nye Trekant ere mindre end i den oprindelige,
kan ses deraf, at Kvadratet paa dens Hypotenuse u2
eller æ er Faktor i en af den givnes Katheter. Da nu
en fortsat Aftagen af hele positive Tal er umulig, er
den forsøgte Antagelse det ogsaa.
At vor Udfyldning af Fermat's Bevis væsentlig
kun bestaar i en Fremstilling i den nuværende Algebras
Sprog af, hvad Fermat paa en tilstrækkelig tydelig
Maade antyder, ledsaget af Begrundelse af, hvad han
erklærer for let at bevise, vi] ses af følgende Gjengivelse
af hans egne Ord, hvor vi blot til Forklaring indskyde
de Ligninger, hvorved det samme udtrykkes med de
foran brugte Betegnelser:
«Hvis Trekantens Areal var et Kvadrat, vilde der