234
Den endelige Analyse.
Forberedelse til de Undersøgelser, som her beskjæftige
os. Disse fortsattes af Stifel's Efterfølgere i Tyskland,
blandt hvilke Faulhaber i Begyndelsen af det 17de
Aarhundrede uden nærmere Begrundelse har opstillet
Udtryk for Summen af r’te Potenser af Tallene i den
naturlige Talrække op til et vilkaarligt Tal for Værdier
af r op indtil r=ll. Som vi strax skulle se ved
Omtalen af Fermat, staar dette Emne i nær Forbindelse
med den Dannelse af Leddene i Differensrækker af for-
skjellig Orden, som vi nu angive ved Udtrykket
n (n 4- 1) (/? 4- 2) ... (zz + /’ — 1)
1 . 2 . "3 ~ r
for det z?’te Led i Rækken af r’te Orden eller for
Summen af de n første Led i Rækken af Ordenen r— 1.
Af den Grund ligger det ikke fjernt at antage, at Faul-
haber har kjendt denne Dannelse. løvrigt var Reglen
i tidligere Tider kun kjendt for /’ = 2. Summen af Led
i en simpel Differensrække kjendtes og anvendtes nemlig
allerede af Archimedes (1. Del, S. 159). Den fuldstæn-
dige Regel for den Dannelse af Leddene i Rækkerne
ved Multiplikation, som udtrykkes ved ovenstaaende
Formel, findes derimod først opstillet i et Brev fra
Fermat i 1636, og at i det mindste en saa almindelig
Opstilling da var noget nyt for Mathematikerne, viser
sig ved, at Pascal mange Aar efter finder den paa ny
og skynder sig at meddele den til Fermat, uden at
det gjennem deres fortsatte Brevvexling bliver ham
klart, at denne længe havde kjendt den.
Fermat havde ogsaa anvendt denne Forme] til i
al Almindelighed at løse en anden Opgave, nemlig den
at beregne Summen 2mr af Potenser (r’te) af Tallene
i den naturlige Talrække op til et vist Tal, en Op-
gave, som i Oldtiden kun var løst for r = 2 [Archi-