294 Den endelige Analyse.
Udtryk af første Grad. Descartes fremhæver ikke blot
Graden, n, af Ligningen i x og y, men ogsaa S. 13—14,
at den i et Sted til 2 n — 1 Linier, naar y betegner Af-
standen fra en af de n første, kun bliver af n— l’te Grad
med Hensyn ti] x, saa det f. Ex. bliver en «p]an Opgave»
at finde Punkter af et Sted til 5 Linier. At han ogsaa
skulde bemærke, at det er en plan Opgave at søge
Punkter af et Sted til sex Linier, idet Punkterne kunne
bestemmes som Skjæringspunkter med Linier gjennem
et Skjæringspunkt mellem to givne Linier tagne fra
hver af de to Grupper, kan man ikke forlange.
Det her fremsatte findes i den første af de tre
Bøger i «La Géométrie». I den anden studeres de
krumme Linier, paa hvilke de fundne Steder ere en
Prøve, nærmere. Skjønt Descartes ikke begynder der-
med, skulle vi først kort angive, hvorledes han S. 21—26
efterviser, at en Ligning af anden Grad fremstiller et
Keglesnit, altsaa ogsaa, at Stederne til tre eller fire
Linier, hvis Ligninger ere af anden Grad, ere Keglesnit.
Ved Løsning af Ligningen med Hensyn til y finder han
et Udtryk af Formen
y == ax 4- b 4- V cx2 + dx + e.
y — ax — b er selv Afstanden fra en ret Linie multi-
pliceret med en Konstant, og Størrelserne x ere propor-
tionale med de Stykker, som Ordinaterne afskjære paa
denne Linie (Sm]gn. Fermat, S. 279). Kurven vil derfor
i et nyt Koordinatsystem med Linien y = ax -f- b til
Abscisseaxe og samme Ordinatretning som før fremstilles
ved en Ligning af Können
y* = Ax2 4- Bx + C,
der let reduceres til de Former, som ifølge Apollonios
fremstille et Keglesnit med den nye Abscisseaxe til
Diameter, svarende til den uforandrede Ordinatretning.