12. Descartes’ Geometri.
299
af fjerde Grad, dels en fuldstændig1 Angivelse af, om
en Opgave, der afhænger af en Ligning af tredie eller
fjerde Grad kan løses ved Lineal og Passer, eller med
andre Ord, om Ligningen kan løses ved Kvadratrod.
Naar Ligningen af fjerde Grad er bragt paa Formen
+ px2 4- qx r = O,
hvor vi for Nemheds Skyld ville antage, at Koefficien-
terne kunne være positive eller negative, opstiller Des-
cartes S. 66—67 Ligningen
yG + 2py* + (p2 — 4r)y2 — q2 = 0
som Betingelse for, at den venstre Side af den givne
Ligning kan opskrives som Produktet
af to Faktorer af anden Grad. Hjælpeligningen er af
tredie Grad i y2. Dette Resultat fremstiller Descartes
vel kun som færdigt, altsaa i synthetisk Form, men den
dertil førende Analyse er opstillet i Schooten’s af
Descartes godkjendte Kommentar. Her sættes venstre
Side i Fjerdegradsligningen identisk lig med Produktet
(x2 — yx 4- z) (x2 4- yx 4- o),
hvorefter man ved at sætte Koefficienterne til de for-
skjellige Potenser af x lige faar de fornødne Ligninger
til Bestemmelse af y, z og o. Dette er en Anvendelse
af den nys nævnte ubestemte Koefficienters Methode.
Hvad Opløseligheden ved Lineal og Passer, eller
alene ved Kvadratrod, angaar, slaar Descartes S. 65 fast,
at en saadan for en Ligning af tredie Grad kun er mulig,
naar Ligningen er reduktibel eller lader sig dele i en
Ligning af første og en af anden Grad. Efterat man