Matematikkens Historie II

300 Den endelige Analyse. har omdannet Ligningen saaledes, at Koefficienterne ere hele og rationale, og den første 1, maa den i dette Tilfælde have en hel Rod, der kun kan søges blandt Faktorerne i det af x uafhængige Led. Skal en Ligning af fjerde Grad kunne løses ved Linea] og Passer, eller uden andre Rodstørrelser end Kvadratrødder, maa, S. 67, Hjælpeligningen, som er af tredie Grad i <y2, tilfredsstille den samme Betingelse. Som en Opgave, der kan behandles ad denne Vej, benytter Descartes S. 70 en bekjendt antik «Indskydning», nemlig den at. konstruere en ret Linie, som gaar igjennem et Punkt af Halveringslinien af en ret Vinke], og paa hvilken Vinklens Ben afskjære et Stykke af given Længde. Denne Opgave havde, som vi have set, ogsaa tiltrukket sig den nyere Tids Mathema- tikers Opmærksomhed. Girard havde (se S. 153) fundet en algebraisk Løsning, Ghetåldi havde løst den geo- metrisk, og i Huygens’ Breve findes en anden elegant Opløsning. I Descartes’ algebraiske Behandling faar Opgaven Betydning som et Exempel paa Anvendelsen af hans almindelige Methode til at finde Opløseligheden ved Passer og Lineal. Som ubekjendt betragter han det Stykke, som den søgte Linie afskjærer paa et af Vinklens Ben, regnet ud fra det givne Punkts Projek- tion paa dette. Ligningen bliver af fjerde Grad, og den tilhørende Hjælpeligning af tredie Grad viser sig at være reduktibel. Descartes bemærker, at dette ogsaa maatte være Tilfældet, hvis en anden Størrelse var tagen til ubekjendt. Behandlingsmaaden beror altsaa ikke blot paa et heldigt Valg af et netop til denne Op- gave passende Kunstgreb. Den kan dog simplificeres ved et særlig heldigt Valg af den ubekjendte, saaledes som Newton bemærker ved sin Behandling af samme Opgave i Arithmetica universalis. Ligningen bliver nemlig kun af anden Grad, naar man lader den ube-