________
12. Descartes’ Geometri.
301
kjendte paa simpel Maade bestemme Midtpunktet af det
indskudte Stykke. Newton benytter Opgaven som Ex-
empel paa den Regel, at man, for at faa en Ligning af
saa lav Grad som muligt, til ubekjendt skal vælge en
Størrelse, der ikke med samme Ret kan om-
byttes med en anden.
Man har i det 19de Aarhundrede strengt bevist, at
Opløseligheden af Ligninger af tredie og fjerde Grad
virkelig ikke lader sig udføre alene ved Kvadratrødder
eller ved Lineal og Passer uden i de af Descartes op-
stillede Tilfælde. Medens Descartes med Kette hen-
viser Læserne til som Øvelser at gjennemføre saadanne
Beviser, som ere ligefremme Anvendelser af hans Me-
thode, ser han, at der paa dette Punkt foreligger et
Spørgsmaal af principiel Betydning, som han selv maa
besvare. Hans S. 79 anførte Grunde vidne ogsaa om
et rigtigt Blik for, at Antallet af uadskillelige Op-
løsninger her maa spille en Rolle; men de have ikke
fuld Beviskraft. Bestemmelsen af to Mellemproportionaler
eller Tredeling af Vinklen, hvortil Løsning af Ligninger
af tredie og derved af fjerde Grad kan føres tilbage,
kræver efter hans Forklaring en Bestemmelse af 2 Mel-
lemstørrelser eller 2 Mellempunkter, som ikke kan op-
naas ved Cirklen, hvis Krumning overalt er ensartet,
men først ved Keglesnittene, hvis Krumning «afhænger
af 2 forskjellige Ting».
Ligninger af tredie og fjerde Grad løser han S. 72
ved en fast Parabel og en Cirkel, saaledes Ligningen
— pz2 +• qz 4- r
ved Parablen
S’2 = x
og Cirklen
__ 1 ^)2 (^ __ 1 __ 1^)2 = 1 (1 1^2 r