Matematikkens Historie II

13. Den endelige Analyse efter Descartes. 317 Kurven til disse. De Witt maatte derfor i sin første Bog løse den samme Opgave ad rent geometrisk Vej. Han giver den en Behandling af samme Art og i samme Former, som Apollonios kunde have givet den; men idet han stiller Opgaven anderledes end denne, kan han ikke bygge paa Apollonios. men udtænker selvstændig nye geometriske Betragtninger, som trods den rent for- melle Overensstemmelse gjør hans Behandling geometrisk langt mere uafhængig af Apollonios end Wallis’ al- gebraiske Undersøgelser ere det. For Hyperblens Vedkommende, hvor han kan be- nytte Asymptoterne, hvis Vinkler halveres af Axerne, er det vel ikke saa svært at bestemme disse. Ved Pa- rablen og Ellipsen gaar han ud fra nye Bestemmelser af disse Kurver som geometriske Steder. Parablen be- stemmer han saaledes først som geometrisk Sted for Skjæringspunktet mellem det ene Ben i en Vinkel af konstant Størrelse, som drejer sig om sit Toppunkt og en Linie af given Retning, som skjærer det andet Ben paa en fast ret Linie. Hertil knyttes Relationen mellem en Kække parallele Halvkorder og de Stykker, som de afskjære paa deres Diameter. Der vises, at der er uendelig mange saadanne, indbyrdes parallele Diametre, hver med sit Kordesystem. Tangenterne bestemmes og benyttes ved Løsningen af den Hovedopgave at finde en Diameter, som danner en given Vinkel med sit Korde- system. Er denne ret, finder man Axen; dette fremhæves udtrykkelig, ligesom i det følgende Bestemmelsen af Axerne baade for Hyperblen og Ellipsen træde tydelig frem som et vigtigt Resultat af den foretagne Undersøgelse. De Witt har saaledes i sin første Bog selvstændig, om end ad rent geometrisk Vej, fundet netop det, som Descartes maatte laane hos Apollonios. Han kan dernæst i anden Bog nøjes med ligesom Descartes at