13. Den endelige Analyse efter Descartes.
323
draturer, der kunne opnaas ved at ombytte Kurverne
med simplere Kurver, som gaa gjennem en De] af de
førstes Punkter. Det er dog paa en anden Maade, at
Newton har realiseret dette i sin almindelige Inter-
polationsforme!. Denne er vel først udførligere ud-
viklet i hans 1711 udkomne Methodus differentialis,
men selve Formlen findes allerede kort angiven i en
Hjælpesætning til Principia (III, Lemma 5).
De Tilnærmelseskurver, som herved benyttes, nemlig
«parabolske» Kurver med Ligninger af Formen
y = a 4- bx-\- cx2 4- •••
vare dog forud i 1668 anvendte af James Gregory til
en Udledelse af den bekjenclte Formel, som man efter
en senere Gjenopfinder kalder Simpson’s Formel. New-
ton afviger fra Gregory og dem, der tidligere havde
opstillet Interpolationsformler, navnlig Briggs (S. 196)
ved ikke alene at interpolere i konstante Intervaller af
den uafhængige Variables Værdier, hvorved Ordinaterne
gjennem de Punkter, som skulle bestemme Hjælpekurven,
afskjære ligestore Stykker paa Abscisseaxen. Dette mere
specielle Tilfælde behandler han vel først; men dernæst
tillægger han de Punkter, hvorigjennem Hjælpekurven
skal gaa, fuldkommen vilkaarlige Koordinater. Kalde
vi disse x0, y0-, xlt y±-, x2, y2 danner Newton suc-
cessivt dividerede Differenser, som vi kunne betegne
paa følgende Maade:
= Ayo, yi^yi = Alh...
- 70 _ _________________ zyo c/
cZ-CAy() ^'2 " cXz i
4/i — 4/o
= J2i/o>
= Ai ...
x3 — Xi J
og finder da
y = yo 4- — ^o) ^y0 4- — ^0) (# — ^i) A2yQ + ...
21*