356 Infinitesim alregningens Opstaaen og første Udvikling.
Resultat. Han har et Sted beregnet J sin ftdft' ved at
summere de Værdier af sin ft, som svare til hele Grade-
antal op til ft. Denne Sum multipliceret med en konstant
Størrelse ^nemlig Længden af en Bue paa 1° eller
vil fremstille Integralet; Forholdet mellem saadanne
Summer fremstiller altsaa Forholdet mellem de tilsva-
rende Integraler. Paa denne Maade finder han, at Inte-
gralet er 1 for # = 90°; for en og maaske for flere
andre fandt han, at det har samme Værdi som 1 — cos ft.
Heraf sluttede han det, som vi nu vilde skrive
smftdft =1 — cos ft.
J o
I Stedet for dette empiriske Bevis saa Kepler senere,
at man kan sætte en geometrisk og exakt Begrundelse,
som allerede findes i Archimedes’ Bestemmelse af Kugle-
kalottens Areal, nærmest i den Skikkelse, hvori han
fandt den hos Pappos. Denne er nemlig, naar man ser
bort fra den for et Exhaustionsbevis ejendommelige
Form, den samme, som om Kalotten deles i afkortede
Kegleflader, hvoraf enhver enkelt i moderne Sprog er
2nr sin ft. ds, hvor r betegner Kuglens Kadius, ft be-
tegner Vinklen mellem Radius til det anførte Element
og til Kalottens Pol, og s — r.ft betegner Buelængden
fra Kalottens Pol til dette Element. Elementet bliver
saaledes
2 nr2 sin ftdft.
Det er dette Udtryk, som Archimedes faktisk omdanner
til Udtrykket for det tilsvarende Stykke af den om-
skrevne Cylinder eller til
2 nr. dh,
hvor dh er Keglestubbens Højde. Derved bliver hele
Kalotten