Matematikkens Historie II

2. Integrationer før Integralregningen (Cavalieri). 359 Sum betragtes, afskjæres paa de samme, med disse Grænsestillinger parallele og indbyrdes ækvidistante Linier. F'orholdet biver da det samme som Forholdet mellem de to Arealer, indenfor hvilke Korderne afskjæres. Paa denne Maade ses f. Ex., at Arealerne af en Ellipse og en Cirkel med en fælles Axe forholde sig, som Ellipsens anden Axe forholder sig til den fælles Axe; thi alle Led i de to Summer staa i dette Forhold. Cavalieri lader iøvrigt jevnlig den ene af de to Figurer være et Parallelogram og Korderne være parallele med det ene Par Sider. Forholdet mellem Summerne er da det andet Areals Forhold til denne bekjendte Figur, og vil paa denne bekjendte Faktor nær fremstille Arealet af den anden Figur. Det yder altsaa det samme som det bestemte Integral, der i den nuværende Mathematik i Henhold til den samme Deling ved Paralleler fremstiller dette Areal. Selv efter den nærmere Forklaring i Exer citationes fandt Cavalieri’s Begrebsbestemmelser Modsigelse. Saa- ledes forstod Roberval og andre ham, som om selve Arealerne skulde være Summerne af uendelig mange parallele Linier, og som om altsaa en Størrelse med to Dimensioner sammensattes af uendelig mange med én. Dette siger Cavalieri nu vel ikke; men han giver for saa vidt selv Anledning til Misforstaaelsen, som hans Betegnelse af de parallele Korder som «udelelige» synes at antyde, at de selv skulde være uendelig smaa Dele af Arealerne. Exercitationes indeholder vel et Bevis for, at Summerne af de uendelig mange Korder forholde sig som Arealerne; men dette er holdt i temmelig al- mindelige Træk. Den vigtige Forudsætning, at de Korder, hvis Antal forøges i det uendelige, overalt skulle have lige store Afstande, træder saaledes kun meget indirekte frem.