Matematikkens Historie II

362 Infinitesimalregningens Opstaaen og første Udvikling. CRD __ (x\ Selvfølgelig er Beviset i denne vor Fremstilling bleven overskueligere ved den for moderne Læsere bekjendte Brug af Koordinatbetegnelser x og y end hos Cavalieri, der betegner alle Linier ved de Bogstaver, der angive deres Endepunkter, og overhovedet udfører alle Opera- tioner geometrisk; men i selve Tankegangen er intet forandret. Foruden den her beskrevne Bestemmelse af Arealer anvender Cavalieri en lignende Bestemmelse af Rum- fang. To Rumfangs Forhold, fremstilles som Forholdet mellem Summerne af «alle» de plane Snit, som de begge udskjære paa en Række parallele Planer. Medens disses Antal voxer i det uendelige, maa ogsaa de an- tages at være indbyrdes ækvidistante. Skjære alle disse Planer begge Legemer i Snit med lige store Arealer eller saadanne, som staa i et givet Forhold, ville Rum- fangene være lige store eller staa i samme Forhold, en Sætning, der endnu efter den, som først har udtalt den i fuld Almindelighed, med Rette bærer Navnet Cavalieri’s Sætning. Derved kan Cavalieri føre et Bevis, som ligner det nysførte, for, at to ligedannede Legemer forholde sig som Kuberne af ensliggende Linier. Ogsaa de øvrige Anvendelser paa Voluminer ind- skrænke sig mest til saadanne Tilfælde, hvor de pa- rallele Snit ere ligedannede, og altsaa forholde sig som Kvadraterne paa de Korder, som de parallele Planer afskjære paa en plan Figur (Parallel cirkl er, hvis Fladen er en Omdrejningsflade). Beregningen føres alt- saa tilbage til Beregning af Forhold mellem Summerne af Kvadraterne af de Korder, som to plane Figurer af- skjære paa et System af parallele Linier. Denne mere abstrakte Beregning, der vilde svare til Beregningen af