Matematikkens Historie II

2. Integrationer før Integralregningen (Cavalieri). 363 Forholdet mellem to Integraler af Formen *\b y-dx med v a samme Grænser, hvor y er en Funktion af x, fremstillet som Ordinat til den Kurve, der afskjærer Korderne, gaar forud for de enkelte stereometriske Anvendelser. Til disse høre de Kumfangsbestemmelser, som allerede Ar- chimedes kunde udføre, og især Beregningen af mange Omdrejningslegemer. Blandt disse findes de, som Kepler beregnede ved Deling ved Planer gjennem Omdrejnings- axen, medens Cavalieri benytter Snit vinkelret paa Axen, og endvidere mange andre, hvis Meridiankurver paa forskjellig Maade ere sammensatte af Keglesnit. Heriblandt maa navnlig anføres, at Cavalieri medtager de Omdrejningsflader af anden Orden, som Archimedes, ja endnu Fermat (S. 281), overser, nemlig Hyperboloiden med et Net, som han kalder Tympanum hyperbolicum, et hyperbolsk Rør. Han beregner det Volumen, som indesluttes af denne og to Planer vinkelrette paa Axen. Disse Beregninger føres i Cavalieri’s første Værk tilbage til de Integrationer, som Archimedes faktisk kjendte og udtrykte paa sin Vis, nemligog ^x*dx (1. Del, S. 159), samt Kvadratur af Cirklen paa de Steder, hvor man i det nuværende mathematiske Sprog vilde støde paa §y/a*— x~dx. Det første af disse tre Inte- graler, der fremstilles ved Arealet, af en Trekant, have vi ogsaa set Galilei anvende ved Beregningen af den under Faldet gjennemløbne Vej (S. 341). Den Form, hvorunder Cavalieri bestemmer x2dx, eller rettere '' o dets Forhold til a3, er som Forholdet mellem Kva- draterne paa «alle» Korderne RT parallele med Siden AC i Trekant AEC (Fig. 16) og Kvadraterne paa alle de paa de samme Linier afskaarne Korder RV i Pa- rallelogrammet AG, hvis ene Halvdel AEC udgjør.