Matematikkens Historie II

2. Integrationer før Integralregningen (Fermat). 359 Paa anden Maade afviger Fermat fra Cavalieri derved, at han, der paa intet Omraade føler Trang til nye Former, men forstaar at bruge de alt existerende til at omfatte alle sine store og nye Undersøgelser, slet ikke lægger an paa en saadan ny, abstrakt og almindelig Udtryksmaade i Sætninger og Beviser som Cavalieri. Netop derved undgaar han de Svagheder, som ere for- bundne med de nye og uprøvede Former, og bevæger sig overalt med Sikkerhed paa en Grundvold, hvis Exakthed ikke kunde være nogen Tvivl underkastet. I Virkeligheden blive hans Undersøgelser ikke derved mindre almindelige, idet han nemlig kan gjennemføre et Bevis for et enkelt Tilfælde — f. Ex. for en vis Tal- værdi af en Exponent, der skal kunne være et vilkaar- ligt helt Tal — paa en saadan Maade, at det ses, at det vilde gjælde for ethvert andet. Hermed er ingenlunde sagt, at han altid — paa denne Maade — fører fuldstændige Beviser for sine Paastande. Tvertimod udtrykker han sig ofte med saa stor Korthed, at man kun faar Resultatet og maaske nogle Hovedpunkter i Begrundelsen at vide; men alt er udtrykt med en Klarhed og Bestemthed, som røber, at Materialet til en fuldstændig Bevisførelse er tilstede, og enkelte Steder viser han ved et fuldt gjennemført Ex- haustionsbevis, at dette virkelig er Tilfældet. Den Form, hvorunder en Integration mest naturlig maatte fremstille sig i Tilslutning til den antike geo- metriske Fremstilling af Størrelser, særlig af Produkter, var som en Kvadratur. Hvad vi nu kalde f f(x)dx, det var da for Fermat det samme som det Areal, der begrænses af Abscisseaxen, Kurven y = f(x) og Ordi- naterne bestemte ved x = a og x = b. Til disse Kva- draturer førte han og andre Mathematikere paa den 21