370 Infinitesimalregningens Opstaaen og første Udvikling
Tid saadanne Spørgsmnal tilbage, som vi nu gjøre af-
hængige af den samme Integration, og endnu den Dag
i Dag kalde vi saadan en Integration en Kvadratur og
tale om at reducere en Differentialligning til Kvadraturer.
Beregningen af Integralet \’'xndx blev til Kvadratur af
«Parablen» y — x11, idet vi her og i det følgende se bort
fra en konstant Faktor af n — l’te Grad, som Fermat
maatte have med for den geometriske Homogeneitets
Skyld. Navnet Parabler udstrakte han dog ikke alene til
det Tilfælde, hvor n er et helt Tal, men ogsaa til Kurver,
fremstillede ved Ligninger af Formen — = const. Idet
xp
han ligeledes kvadrerede disse, fandt han ogsaa, hvad
man nu vilde kalde Værdierne af Integraler af Formen
$xndx, hvor n er bruden. Han kvadrerer endvidere den
Klasse af Kurver, som han kaldte Hyperbler af højere
Orden, og hvis Ligninger have Formen xPyQ — const.,
og beregnede saaledes ogsaa Integraler af den nævnte
Form for negative Værdier af n.
Af Fermat’s Breve til Roberval i 1636 fremgaar,
at han ved sine ældste Kvadraturer af Parabler, hvilke
dog kun omfatte Parablerne y = xn, hvor n er hel,
har fulgt samme Fremgangsmaade som den, hvorved
Archimedes beregner §'^xndx for zz = 1 og 2 (1. Del,
S. 159), nemlig ved Summation af Potenser af de første
hele Tal. . Allerede ved Meddelelsen om, at Fermat
besidder en almindelig Methode, og om Resultatet for
n = 3, siger Roberval, at han selv udfører de samme
Integrationer ved Ulighederne
p 2n 4- ... mn >
7nn+1
n 1
ln 4- 2n 4- ... (m — 1)*,
og knytter dertil den Formodning, at Fermat bruger