2. Integrationer før Integralregningen (Fermat). 379
u •> c » „__________
Han gaar ud fra, at naar yä = —g , faar man
umiddelbart ved Kvadratur af to Hyperbler §y3dx.
Deraf faas ved hans delvise Integration ^y2xdy eller,
ved at sætte y2x — a2t, §tdy. Ligningen mellem y og t,
som faas ved Elimination af x, er t3 4- y3 = aty, som
netop fremstiller Descartes' Blad, og det er saaledes
denne Kvadratur, som udtrykkes ved det sidst fundne
Integral. Resultatet kan være fundet ved analytisk at
anvende de samme Transformationer i omvendt Orden.
Ved at knyttes til en Kurve, hvis øvrige Egenskaber
allerede da vare undersøgte af andre, viser denne An-
vendelse, at Methoden i hans Haand ikke alene var
anvendelig paa særlig tillempede Exempler.
Det samme viser Fermat ved at anvende den paa
en Opgave, som var forelagt ham af «en lærd Geo-
metrer», og som vi skulle anføre som Exempel paa
Keduktion til Cirklens Kvadratur, eller af Integralerne
til cirkulære Funktioner. Den angik Kvadraturen af
ad
Kurven y = og særlig ønskedes det Areal
bestemt, som indesluttes mellem Kurven og ?/-Axen og
x-Axen, som er dens Asymptote. Fermat anvender
følgende Analyse til at finde denne Kvadratur. Ved
Substitutionen z2 — ay omdannes Integralet §ydx til
^-J*z2dx. Denne sidste Kvadratur afhænger ifølge Fer-
mat’s Methode af £xzdx eller, hvis man sætter xz = at,
af §tdz. Da den givne Ligning og de to Substitutions-
ligninger ved Elimination af x og y give C2 = a2 — z2,
vil ^tdz fremstille et cirkulært Areal. I det forelagte
specielle Tilfælde blive de forskjellige her omtalte Kva-