iiMTa-
392 Infinitesimalregningens Opstaaen og første Udvikling.
Lim.
øn i« 2n 4- ... (m — 1)«
mn -|- mn mn + ■ •. mn
naar m, der tillige angiver Antallet af Led i Nævneren,
voxer i det uendelige. For n = 1 støtter han som
Archimedes Resultatet paa en Summation af en Diffe-
rensrække. For n = 2 og 3 tager han efterhaanden
større og større Værdier af m og viser, induktivt og
uden som Fermat og Pascal at gjøre Brug af det ex-
akte Udtryk for Summen i Tælleren, at Brøken bliver
1
- -1 . + en Størrelse, der ved at lade m voxe kan
TI -f- 1
gjøres mindre end enhver opgiven Størrelse. Dette
sidste Udtryk anvender nemlig ogsaa han for paa exakt
Maade at karakterisere Grænseværdien. Udvidelsen til
højere hele Værdier af Exponenten n sker ved en lig-
nende Induktion.
Mærkeligere bliver hans Udvidelse til brudne og
negative Værdier af n derved, at den er fremkommen,
uden at han endnu i sit Tegnsprog gjør Brug af brudne
og negative Exponenter. Til Grund for hans Udvidelse
ligger dog ikke alene det allerede for hele positive n
fundne Resultat, at for y — xn
[Xydx = ['x’ldx = ——- = -4-7 xy,
h Jo /2 + 1
men ogsaa et andet, som han paa exakt Maade udleder
deraf, nemlig at
C y , py L, n n+1 n
xdy = IJndy = —— y n =——-xy.
Jo Jo 3 n 4- 1 J ii 1' J
De to her angivne Integraler fremstille nemlig de to
Arealer, hvori Parablen y = xn deler Rektanglet xy;
det sidste kan altsaa findes ved at trække det første
fra xy.