Matematikkens Historie II

2. Integrationer før Integralregningen (Anvendelser). 409 Centervinkel 6 og med Radius | r. For dette urigtige Resultat gjennemfører Guldin, i Modsætning til Kepler og Cavalieri, hvem han jo beskylder for Mangel paa Exakthed, et fuldstændigt Bevis i de overleverede Former. Dette Bevis har kun den Mangel, at et af de opstillede Postulater er urigtigt, nemlig det, at en Spiralbue (Js mellem Punkterne (#, r) og (# + Ad, r +• /I/')) er mindre end den Cirkelbue ((/’-]- zf/j Ad) med samme Center- vinkel, som har Radius vector til Buens yderste Punkt til Radius. Dette Postulat i Forbindelse med det rigtige, at As >> rAd, bringer ham til at bestemme Buelængden s som frdd. Efter at være gjort opmærksom paa, at hans Sætning er urigtig, kan han senere hen bevise denne Urigtighed ved i den første Spire, regnet fra 0 til 2 ji, at indskrive en Tolvkant og udregne, at denne er større end Halvcirklen med Spirens største Radius vector til Radius. Ved denne Eftervisning benytter han As > VAr2 -{- r2 Ad2. I Forbindelse hermed faar han en tilsvarende Beregning af Spiralbuer, som vi kunne gjengive ved Formlen Sy/ Ar2 4- r2 Ad2. Paa samme Maade gav Formlen 2}/Ax2 h Ay2 ham en tilnærmet Beregning af Buer af Keglesnit. Idet vi her se, hvorledes Guldin efter en grov Fejltagelse atter kommer paa ret Kjøl, vil det være klart, at det ikke mere kan have voldet nogen Vanske- lighed at føre Spørgsmaal om en Kurves Rektifikation, der altid faktisk maa afhænge af en Integration, tilbage til Kvadraturer eller de andre Former, som man gav sine Integrationer. Fremskridtene maatte bestaa i, at man ad denne Vej kom til nye Resultater. Var et saadant først naaet, kunde den nøjagtige Gjennemførelse af Beviset vel være vidtløftig og besværlig, men ikke volde den, der var inde i Exhaustionsmethodens stærkt udviklede Teknik, alvorlige Vanskeligheder. De dertil