Matematikkens Historie II

410 Infinitesimalregningens Opstaaen og første Udvikling. nødvendige Grænser, hvorimellem en Buelængde skulde indesluttes, skaffede man sig da paa forskjellige Maader, som vi snart skulle oplyse ved et Par Exempler. I mange Tilfælde nøjedes man dog med uden en saadan exakl Opstilling at betragte Kurvens Længde som Grænse enten for den indskrevne Polygon eller for den om- skrevne. Det første kjendte Resultat paa dette Omraade er en Rektifikation af den logarithmiske Spiral, som skyldes Torricelli. Han kalder den den geometriske Spiral og kjendte desuden dens Kvadratur og den Egenskab, at den skjærer alle Radii vectores under en konstant Vinkel. Han omtaler disse Resultater i en hidtil utrykt Beretning om nogle videnskabelige Forhandlinger med de franske Mathematikere i 1640, altsaa paa et Tids- punkt, da, som vi senere skulle omtale, ogsaa Descartes lige havde begyndt at beskjæftige sig med den samme mærkelige Kurve. Den samme Beretning skal røbe noget Kjendskab til de Sammenstillinger mellem Længder af Parabler og Spiraler, som i den følgende Tid be- skæftigede franske Mathematikere. Blandt disse udtalte Roberval i 1643, at de til hinanden svarende Buelængder af en Archimedisk Spiral og af en Parabe], som staa i den alt omtalte, ved y — r, x = udtrykte Forbindelse, ere lige store. For denne Sætning førte Pascal i 1658 et fuldstændigt Bevis. I dette benytter han indskrevne Polygonstykker som lavere Grænser for Buer af de to Kurver. Som højere Grænse for en Parabelbue benytter han en sav- takket Linie bestaaende af Stykker af Tangenterne og de Stykker af Diametrene, som ligge mellem Kurven og disse Tangenter. Som højere Grænse for en Spiral- bue betragtede han en Kurven omsluttende Linie, sam-