Matematikkens Historie II

418 Infinitesimalregningens Opstaaen og første Udvikling. dog kun denne Bestemmelse i det Tilfælde, hvor Axen tangerer Arealet; men da han baade for plane Figurer og Legemer kjender Relationerne mellem Inertimomen- terne med Hensyn til parallele Axer i forskjellige Af- stande fra Tyngdepunktet, føres andre Inertimomenter let tilbage hertil. Iriertimomenterne af et Volumen (eller af et plant Areal med Hensyn ti] en derpaa vinkelret Axe) findes ved Addition af de to Integraler J x?do, ^y^dv, hvor x og y ere Elementet dv’s Afstande fra to indbyrdes vinkelrette Planer gjennem Axen. Beregningen af hvert af disse, f. Ex. Jx2dv, føres endvidere tilbage til den foregaaende af et plant Areals Inertimoment: idet 3?-Axen betragtes som Abscisseaxe for det tilsvarende plane Areal, gjøres dettes Ordinater proportionale med plane Snit i Legemet, parallele med og i samme Afstand fra Planen x = 0 som Ordinaterne fra Axen x = 0. Beregningen kan udføres simplere, naar Snit vinkel- rette paa Axen ere ligedannede og ligedan beliggende med Axens Spor til ensliggende Punkter. Er nemlig Arealet af et saadant Snit w, bliver dets Inertimornent med Hensyn til Axen = ku2, hvor k er en Konstant, der kan beregnes ved at beregne Inertimomentet af et enkelt af Snittene. Legemets Inertimoment bliver I = k\u2dz, hvor z er det Stykke, som Snittet u af- skjærer paa Axen. Ogsaa denne Beregning fører Huygens tilbage til en Tyngdepunktberegning. Idet han tager z til Abscisse, u til Ordinat for det løbende Punkt af en Kurve, vil Voluminet fremstilles ved det plane Areal $udz. Er u-Koordinaten til dette Areals Tyngdepunkt ux, bliver I = k J u2dz = 2 kui J udz, og 2 kui altsaa den F'aktor, hvormed Voluminet $udz skal multipliceres for at give det søgte Inertimoment.