Matematikkens Historie II

3. Uendelige Tilnærmelsesmethoder; Rækker. 421 en Størrelses Fremstilling som Integral til dens Be- regning, er Integralets Egenskab at være Grænsen for en Sum. Med større og større Nøjagtighed kan det altsaa beregnes ved at tage flere og flere, mindre og mindre Dele med i Summen. Paa denne Maade be- regnede allerede Kepler de Tilnærmelsesværdier til f sindd/fr, som ledede hans induktive Bestemmelse af J o dette Integrals nøjagtige Værdi (S. 356); samme Frem- gangsmaade anvender Roberval paa Integraler, for hvilke han ikke kan finde noget exakt Udtryk, og her- hen hører Beregningen af en Kurves Længde ved at beregne indskrevne Polygoner med flere og flere Sider. Denne Fremgangsmaade, der forlængst havde været an- vendt ved Beregningen af n, se vi Mathematikerne fra Guldin til Wallis anvende ogsaa paa andre Kurvers Længder. Der er imidlertid en anden Fremgangsmaade, som ved Slutningen af den Tid, der beskjæftiger os, kommer i Anvendelse, særlig ved Logarithmernes Beregning, nemlig Integralers Fremstilling ved uendelige Rækker. Før vi tale nærmere om denne Methode, der snart skulde faa en mere almindelig Betydning, skulle vi kaste et Blik tilbage paa Brug af uendelige Rækker og andre uendelige Tilnærmelser i tidligere Tider. Allerede i Oldtiden anvendte saavel Euklid som Archimedes (1. Del, S. 149 og 158) i deres Beviser saa- danne Fremstillinger af Størrelser, som i det væsentlige falde sammen med de moderne uendelige Rækker, Ar- chimedes særlig Summation af en uendelig Kvotient- række. Ved Exhaustionsbeviset sikrede man sig da, at Summerne af disse Rækker virkelig konvergere ti] de Størrelser, som de skulde udtrykke. Derved byggede man paa en Forudsætning, som opstilles i 4. Definition