Matematikkens Historie II

422 Infinitesimalregningens Opstaaen og første Udvikling. i Euklid’s 5. Bog, eller mere umiddelbart paa den deraf udledede Sætning 1 i 10. Bog. Denne Sætning udsiger, at man ved fra en Størrelse at borttage Halvdelen eller mere end Halvdelen og gjentage denne Operation et tilstrækkeligt Antal Gango kan naa ned til en Størrelse, der er mindre end en hvilkensomhelst opgiven Størrelse af samme Art, et Kriterium, der i det moderne Sprog kan gjengiyessaaledes: Lima.ß.y . . . = 0, naar a,ß,y... alle ere < | (1. Del, S. 146). Vi gjentage det her, fordi, som vi skulle se, i det mindste Newton udtrykkelig støtter sine Undersøgelser af Konvergens derpaa. Uendelige Rækker ere dog ikke den eneste Til- nærmelsesform, som vi ere stødte paa i den foregaaende Udvikling. En saadan Tilnærmelse have vi, hver Gang et irrationalt lal — det være sig nu en Rodstørrelse, en Rod i en Ligning, en trigonometrisk Størrelse eller n eller en Logarithme — bestemmes med større og større Nøjagtighed ved en Operation, som lader sig fortsætte, indtil Afvigelsen fra den Størrelse, som skal beregnes, bliver mindre end et hvilketsomhelst opgivet Tal. Her- med have vi altsaa allerede beskjæftiget os i alle de foregaaende Afsnit, som have handlet om numerisk Beregning. Naar Spørgsmaalet om Konvergens dog i Reglen ikke er traadt frem i disse, beror det paa, at denne enten har været sikret derved, at man har be- stemt hver ny Decimal saaledes, at den hverken var for stor eller for lille, eller Konvergensen har været saa stærk, at den var aldeles utvivlsom; det er jo nemlig kun saadanne stærke Konvergenser, der virkelig due i numeriske Beregninger. Blandt de i de foregaaende Afsnit behandlede Emner skulle vi her kun minde om nogle saadanne Tilfælde, hvor Tilnærmelsen fremtræder i en bestemt uendelig Tilnærmelsesformel. Hertil hører Bombelli’s