Matematikkens Historie II

3. Uendelige Tilnærmelsesmethoder; Rækker. , 425 melsen af den geometriske og af den harmoniske Mel- lemproportional. Gregory bruger vel ikke vore Mærke- tal; men den derved udtrykte Ensartethed i den fort- satte Dannelse fremhæver han meget stærkt, og benytter han paa en Maade, vi snart skulle omtale. Paa Grund af Ensartetheden og Homogeneiten er det ogsaa tilstrækkeligt at bevise Sætningerne for n = 2, hvilket let sker ved den foreliggende Figur, og man ser da ligesom Gregory, at de gjælde ligesaa vel for Ellipser og Hyperbler som for Cirkler. De fundne Resultater kunne benyttes til at beregne saavel hele Cirklens Areal, altsaa ogsaa n, som Arealet af et Cirkeludsnit, naar ikke dets Centervinkel selv, men dens trigonometriske Funktioner ere givne, altsaa til Beregning af cirkulære Funktioner. Gregory an- vender dem ogsaa til Beregning af Hyperbelarealer og derved af Logarithmer. Beregningen bliver dog noget vidtløftig ved de gjentagne Kvadratrodsuddragninger. Størst Interesse har Gregory’s Formler dog ved den theoretiske Anvendelse, som han gjør deraf, nemlig til at vise, at, som vi nu vilde sige, de cirkulære og lo- garithmiske Funktioner ikke ere algebraiske. Hans Paa- stand gaar nemlig ud paa, at Grænseværdien for de til- nærmede Udtryk i og o ikke kan udtrykkes «analytisk», som han siger, ved to Tilnærmelsesværdier og o15 det vil sige, at det ikke kan udtrykkes derved ved Hjælp af de sædvanlige algebraiske Operationer, Addition, Sub- traktion, Multiplikation, Division og Roduddragning. Hovedtrækkene af Beviset kunne gjengives saaledes. Da man først gjennem en uendelig Gjentagelse af samme Proces naar til u, maa denne Størrelse afhænge ganske paa samme Maade af i2 og o2 som af og op eller man maa med vort moderne Funktionstegn have =f (z'i> Oi) ==</ (?-2> °‘i\