426 Infinitesimalregningens Opstaaen og første Udvikling.
Det gjælder da om at bevise, at denne Funktion f ikke
kan være algebraisk, idet i2 og o2 skulle udtrykkes ved
og o1 paa de alt angivne Maader. Da disse Udtryk
ere irrationale, indfører Gregory nye Variable, idet
han sætter
ix = a2 (a + b~), o-L = b2 (a 4- b),
hvorved
i2 — ab (a 4- b), o2 = 2 ab2.
Beviset gaar dernæst ud paa, at naar f betegner en
algebraisk Funktion, f o J og f (i2, o2) ikke kunne
være af samme Grad i a. Der kunde vel behøves
nøjere Forklaring af, hvorledes Graden skal beregnes,
naar Funktionen er irrational, men ad den angivne Vej
lader sig sikkert et exakt Bevis gjennemføre, hvoraf
fremgaar, at u virkelig ikke kan være en algebraisk
Funktion af a og b eller af to sammenhørende i og o.
Da man, naar i < o, ved Anvendelse paa et Cirkel-
udsnit og de første med i± og o1 betegnede Tilnærmel-
sesfigurer, ser at
og man, naar i >> o, ved Anvendelse paa en ligesidet
Hyperbel finder u udtrykt algebraisk og logarithmisk
ved i og o, bliver det altsaa bevist, at cirkulære og
logarithmiske Funktioner ikke ere algebraiske.
Dette hindrer ikke, at u for enkelte bestemte Vær-
dier af i og o kan udtrykkes algebraisk ved givne, ra-
tionale Tal. Dette kunde tænkes at være Tilfældet, naar
i og o har saadanne Værdier, at u staar i et rationalt
Forhold til den hele Cirkel. Gregory har altsaa ikke
bevist, at n er et transcendent Tal, som det nu kaldes,