3. Uendelige Tilnærmelsesmethoder; Rækker.
437
sikre sig det ved den foreliggende numeriske Under-
søgelse.
Lord Brouncker har dog set, hvilke Fordringer
man maa stille ved Beregningen af en uendelig Rækkes
Sum. Det, vi nu kalde en Rækkes Konvergens, fremgaar
af, at Differensen mellem Værdier, hvorimellem den ligger,
kan gjøres mindre end enhver opgiven Størrelse. Saa-
ledes er Konvergensen af Rækken (1) i hvert Fald gjort
fuldstændig klar.
Ved den foreliggende Undersøgelse er et særligt
Bevis for Rækkernes Konvergens imidlertid hverken
nødvendigt eller tilstrækkeligt; det første ikke, fordi
Rækkernes Sum ifølge deres geometriske Anvendelse
stadig forbliver mindre end de endelige Arealer, de ere
bestemte til at fremstille; det sidste, ikke,fordi Rækkerne,
selv om de ere konvergente . ikke, derfor ville behøve
at konvergere til disse Arealer, men muligvis ti] mindre
Grænseværdier. At man imidlertid ved at tage et til-
strækkeligt Antal Led med i enhver af Rækkerne kan
gjøre Afvigelsen fra det Area], den skal fremstille, min-
dre end enhver opgiven Grænse, fremgaar af noget,
som Brouncker udtrykkelig nævner. Han bemærker
nemlig, at
41 ..J ;_t____________L_
1.2 ' 2.3 3.4 1 ' ' ' a(a+ 1) « +1’
et Resultat, som er let at begrunde. Heraf følger ved
at lade a voxe i det uendelige, at den uendelige Række
(3) virkelig konvergerer til den for denne opstillede
Værdi 1. Da nu denne Rækkes Afvigelse fra Arealet
1 af Kvadratet ABDE udgjør Summen af Afvigelserne
af Rækkerne (1) og (2) fra Arealerne DCdE og ABCdE,
kunne ogsaa disse sidste Afvigelser ved at medtage flere
og flere Led gjøres mindre end enhver Grænse.