3. Uendelige Tilnærmelsesmethoder; Rækker.
439
deraf sig fremstille i større Korthed end Lord Brouncker’s
Undersøgelse.
Vi kunne i denne Gjenfremstilling lade Hyperblen,
som skal kvadreres, være den samme, som er frem-
stillet paa Fig. 22, og i dens Ligning tage Punktet A
til Begyndelsespunkt, medens AB vedbliver at være
Abscisseaxe. Ligningen bliver da
__ 1
i x
eller ved Rækkeudvikling, som Mercator opnaar ved
fortsat Division
y = 1 — x + x* — xA + • • •
Lade vi her AB = a fremstille en vilkaarlig Værdi af
x, findes Arealet ABCE eller den naturlige Logarithme
af (1 4- a) ved paa begge Sider af Lighedstegnet at in-
tegrere fra 0 ti] a, altsaa
log (1 + a) = a — — + -----+ • • •
Med denne ganske nye Anvendelse af de Integra-
tioner eller Kvadraturer, som han kjendte fra Wallis,
forbandt Mercator ikke den Nøjagtighed i Udførelsen
af Enkelthederne, der var saa nøje knyttet til de gamle,
Undersøgelsesmaader. Betegnende er det saaledes, at
paa hans egen Figur a > 1, saa end ikke for dens Ved-
kommende den Konvergens vilde være tilstede, som er
den nødvendige Betingelse for hans Methode. Konver-
gensens Nødvendighed fremhæves forøvrigt af Wallis,
som tillige viser, at man dog ved en lille Udvidelse af
Methoden kan anvende den til Beregning af ethvert
Areal begrænset af en ligesidet Hyperbel, en Asymptote
og to Paralleler med den anden. Tages den ene af