Matematikkens Historie II

4. Opgaver, som nu løses ved Differentiation. 443 for lige Rødder i algebraiske Ligninger. Blandt disse bleve særlig Tangentbesteinmelserne ret forskjellige, idet man ofte paa temmelig uensartet Maade benyttede de en- kelte Kurvers forskjellige bekjendte Egenskaber til at be- vise, at en vis Linie vel har et Punkt fælles med Kurven, men paa begge Sider af dette ligger paa samme Side af denne. Stærkere traadte den indbyrdes Forbindelse mel- lem de nævnte forskjellige Klasser af Opgaver frem i de Gamles Behandling. At en vis Størrelse har en Maximums- eller Minimumsværdi, viser sig nemlig derved, at den ved at blive større eller mindre vilde gjøre en vis Opgave umulig, og Angivelsen af Maximums- eller Minimums- værdien, risme (I naar den afhænge, knyttes til denne Opgave i den saakaldte Dio- De], S. 87). En saadan Værdi naas netop, Ligning, hvoraf den algebraiske Løsning vilde faar lige Rødder. Ved den antike Behandling viser dette sig ved, at de Kurver, ved hvis Skjæring Opgaven løses, berøre hinanden; og Beviset for, at dette finder Sted, beror atter paa Bestemmelsen af Tangenterne til de enkelte Kurver. Den til Løsningen af kvadratiske Ligninger knyttede Diorisme, og den deri indeholdte Bestemmelse af Maxi- mum af x (a— x) er allerede et Exempel paa Forbin- delsen mellem Maximumsbestemmelser og Løsning af Problemer. Ligeledes indeholder Diorismen til den ved Eutokios bevarede Løsning af den Archimediske Tredie- gradsligning (I Del, S. 192) j?2 (a — x) = b'2 c en Bestemmelse af Maximumsværdien af x2(a ~x), som udledes af Tangentbestemmelserne for de til Løsningen benyttede Kurver. Paa lignende Maade anvender Apol- lonios Tangentbestemmelserne for de Kurver, ved hvilke han finder Normalen fra et Punkt til et Keglesnit til at diskutere Antallet af saadanne Normaler (1. Del S. 194).