Matematikkens Historie II

6. Omvendt Tangentopgave; Barrow’s Omvendingssætn. 485 os, fremstaa, tildrog endnu en Klasse Opgaver sig Op- mærksomheden, hvilke man kaldte de omvendte Tangent- opgaver. De gaa ud paa at bestemme Kurver, hvis Tangenter have en vis Egenskab. Blandt de under dette Navn fremkomne Opgaver træffe vi dog kun saa- danne, hvor Tangentens Egenskab staar i en vis Af- hængighed af Røringspunktets Beliggenhed, ikke saa- danne, hvor den angives uafhængig af dette, og hvor der altsaa spørges om, hvad vi nu kalde Indhyllings- kurven for rette Linier. Om denne sidste Slags Op- gaver skulle vi derfor heller ikke tale her, men kun minde om, at man finder Bestemmelse af Keglesnit som saadanne Indhyllingskurver baade hos Apollonios (I, S. 184) og senere f. Ex. hos Viviani (S. 446). Den Forskjel, der virkelig er paa disse Opgaver og saadanne, hvor Tangentegenskaben er knyttet til Berøringspunktets Beliggenhed, viser sig i den nuværende Mathematik der- ved, at det kun er de sidste, der svare til de fuldstæn- dige og de deri indbefattede partikulære Integraler af Differentialligninger. En omvendt Tangentopgave vil alt- saa være en saadan, som fremstilles ved en Differential- ligning af første Orden med to Variable x og t/; dens fuldstændige Løsning vil være den samme som en saa- dan Lignings fuldstændige Integration. Det er særlig Descartes, som har henledet Op- mærksomheden paa denne Art af Opgaver. Han var jo netop selv under sine optiske Undersøgelser truffet paa en betydningsfuld Opgave, af denne Art, som vi alt have omtalt (S. 453), nemlig den at bestemme en Kurve, hvis Normal i et vilkaarligt Punkt P med P’s Forbin- delseslinier med to faste Poler danner Vinkler, hvis sinus staa i et givet Forhold e, som vi her for under et at kunne tale om de forskjellige Tilfælde ville an- tage regnet med Fortegn. Hvis vi vilde udtrykke denne