Matematikkens Historie II

8. Newton’s Rækkeudviklinger. 509 Leddene paa ulige Værdier afp, faas en uendelig Række, som maa antages at vedblive at fremstille Integralet. I sine Bestræbelser for at faa Resultater gjældende for alle Exponenter maatte Newton dog snart se, at han fik den simplest© Lov for Dannelsen af Leddene i Rækken ved ikke umiddelbart at søge den Række, som skal fremstille Integralet, men den, der skal fremstille den Funktion, som skal integreres. Han førtes derved til dels at bemærke den multiplikative Dannelse af Led- dene i den Række, der for hele og positive m frem- stiller (1 4- hvad før ham Fermat og Pascal havde gjort (S. 234), dels at se, at denne ogsaa kunde an- vendes, naar Exponenten m er bruden eller negativ, og derved bragtes han til at opstille den almindelige Bi- nomialformel. Med saadanne Induktioner som denne havde Wallis ladet sig nøje; men dertil var Newton en altfor tro Tilhænger af de fra Oldtiden nedarvede strenge Love for den exakte Mathematik. Vel vare de foreliggende algebraiske Hjælpemidler ikke saaledes udviklede, at han med dem kunde give en formel Opstilling af et al- mindeligt Bevis for den almindelige Sætning, et Bevis, der da ogsaa maatte indeholde en Opstilling af de Grænser, inden for hvilke den for Sætningens Gyldig- hed nødvendige Konvergens virkelig er tilstede. Dette er først gjort i det 19de Aarhundrede af Abel og be- tegner et af de vigtigste Brud med den uexakte Brug af uendelige Rækker, som raadede i det 18de Aar- hundrede. Newton, der dog var mere nøjeseende paa dette Punkt, end man senere blev det, maatte nøjes med at angive Methoder, hvorved Rækkens Gyldighed i de enkelte foreliggende Tilfælde lader sig undersøge. Dette kunde for det første ske ved at opløfte de Rækker, der skulde fremstille en Rod, til Potens, og saaledes