8 Newton’s Rækkeudviklinger.
511
i Newton’s andet Brev til Leibniz (1776) og i Methodus
fluxionum. Man afsætter, ved Bestemmelsen af en Ex-'
ponent (a) i Rækken, Exponenterne (m og ri) til y og
x i hvert enkelt Led i Ligningen f(x, y) = 0 som Ab-
scisse og Ordinat til et Punkt i et retvinklet Koordinat-
system, og lægger en ret Linie, som gaar gjennem to
eller flere af de derved bestemte Punkter, medens alle
de andre ligge paa den modsatte Side af Begyndelses-
punktet. Da vil, i en af de mulige Rækker, a være
denne Linies Ketningskoefficient med modsat Tegn; thi
for de Punkter, hvorigjennem den gaar, har da am -f- n
en og samme Værdi, som er mindre end de, som man
vilde faa ved Indsættelse af de andre Punkters Ko-
ordinater.
Newton indsaa tillige, at denne Fremgangsmaade
ikke alene er anvendelig, naar der finder en algebraisk
Ligning Sted mellem x og y, men navnlig ogsaa, naar
x allerede er udtrykt ved en uendelig Række, udviklet
efter stigende Potenser af y, at den altsaa kan tjene
til den saakaldte Omvending af en saadan Række.
Under den praktiske Udførelse kunde det heller ikke
undgaa hans Opmærksomhed, at i dette Tilfælde Reg-
ningen lettes ved den Omstændighed, at Led af højere
Grad i x og Led, som indeholde baade x og y, mangle.
Denne Omstændighed vil, efterhaanden som Regningen
skrider frem, sætte i Stand til at bestemme flere og
flere Led ad Gangen.
Newton kan saaledes i sin Analysis per aeqaa-
tiones infinitas ved Omvendingen af Rækken (den lo-
garithmiske)
z = x — I x2 4-1 a?8 — 4- j x& — ..
efter først at have fundet
x = % + y2-{-q