8. Newton’s Rækkeudviklinger.
513
ma2
Slver
. ma2
ved -----
x
misk Led i
For at
et Hyperbelareal, som Newton fremstiller
; at Hyperbelarealet fremstiller et logarith-
Rækken, var vel bekjendt.
den Række, som faas ved den her angivne
successive Dannelse af Led, skal have nogen Betydning,
kræves der, at den skal være konvergent. Newton
kan vel ikke opstille almindelige Regler herfor; men
han har Øje for Fordringen, og han giver Anvisning
paa, hvorledes man i de enkelte foreliggende Tilfælde
ved at tillægge x tilstrækkelig smaa Værdier kan opnaa,
at Kestleddet, p, q, r . . der efterhaanden bestemmes
ved Ligninger, bringes ned under enhver opgiven Grænse.
Han viser derved hen ti], at i den Ligning, der tjener til
at bestemme en af disse Sførrelser, f. Ex. r, det af r
uafhængige Led indeholder en stedse højere Potens af
x som Faktor. Paa denne Maade kan han ganske vist
sikre sig en saadan Bestemmelse af x, at Benyttelsen
af et vist endeligt Antal Led gjør Restleddet mindre end
en hvilken som helst forud opgiven Grænse; men for, at
det samme skal kunne opnaas ved en Forøgelse af Led-
denes Antal i det uendelige, uden at x behøver at nærme
sig til Grænseværdien 0, samtidig med at den opgivne
Grænse gjør det, maa man ej blot som Newton have
en Regel for den successive Dannelse af Leddene, men
ogsaa en derpaa grundet almindelig Bestemmelse af den
Rest, som følger efter et vilkaarligt Led. Og netop saa-
danne Bestemmelser savnede man.
Der er saaledes vel tekniske Vanskeligheder, som
hindre Newton i en almindelig Opstilling af de fornødne
Konvergensbetingelser, men det ses, at han ikke for-
sømmer disse, saaledes som man gjorde i det følgende
33