8. Newton’s Rækkeudviklinger.
515
garithmiske Funktioner udledes heraf ved Kvadratur og
Rækker for trigonometriske og den exponentielle Funk-
tion ved Omvending af disse Rækker.
Vi skulle i næste Afsnit omtale nogle af de saa-
ledes vundne Resultater; men her skal endnu bemærkes
følgende. Hovedformaalet med Rækkerne var den der-
paa grundede numeriske Beregning, hvis Nøjagtighedsgrad
sikredes ved de nys omtalte Konvergensundersøgelser.
Den til Rækkeudvikling anvendte Fremgangsmaade kan
imidlertid ogsaa direkte anvendes til numerisk Bereg-
ning af en Rod ij i Talligningen f(y) — 0. Naar man
ved Forsøg har fundet en Tilnærmelsesværdi, b, ind-
sætter man nemlig y — b + p og bestemmer en nøj-
agtigere Tilnærmelsesværdi for p af den Ligning, som
faas ved at bortkaste alle Potenser af jo, hvis Exponent
er større end 1. Kaldes den saaledes fundne nøjagtigere
Værdi af y for c, sættes dernæst y = c 4- q, og paa
denne Maade faas efterhaanden en større og større
Nøjagtighed. Denne Fremgangsmaade, som sædvanlig
kaldes Newton’s, var jo iøvrigt tidligere anvendt af
forskjellige (saaledes navnlig Vieta, S. 174) endog paa
en meget systematisk Maade. I Newton’s Analysis per
æquationes infinitas gaar den forud for Udviklingen af
en Rod i en Ligning, hvis Koefficienter indeholde en
uafhængig Variabel, efter Potenser af denne.
9. Resultater af Newton’S Rækkeudviklinger
og Integrationer.
Naar vi nu skulle fremhæve nogle af de vigtigste
Resultater, som Newton naaede ved de her beskrevne
Methoder, maa vi skjelne mellem dem, der ved den hos
33*