_________
9. Resultater af Newton’s Rækkeudvikl, og Integrationer. 517
hvert Fald næppe undladt at prøve den paa flere Led.
Om nogen Paavisning af, at den fundne Række gjælder
for alle Værdier af z, er der ikke Tale.
En anden Fremstilling af hyperbolske Arealer faar
frX _______
han, idet han udvikler en Række for I V a2 -|- x2 dx.
d o
Paa lignende Maade faar han Rækkeudviklinger for
(*>X f*>x_______ _______
Cirkelarealerne I V —x2 dx og I Væ(l —x~)dx
o <•/ o
Mere umiddelbart anvendelige end disse sidste ere
Rækkeudviklingerne for Længder af Cirkelbuer. Han
udtrykker saaledes en Buelængde s af en Cirkel med
Diameteren 1 ved dens Projection x ind paa Diameteren
til et Endepunkt (altsaa x = | sin vers 2s) og finder da
Jdr i
x-i== = (1 + Ä + i h
2 y x — x2
o
. I 3 3 rA I 6 3 -«5 I \
r TI52 ,h "T • • •)■
Ligeledes finder han for Længden z af en Bue, hvis
sinus (i en Cirkel med Radius 1) er x, altsaa z —
arc sin x, Rækken
,1.1 3 , 1.1.3.3 . ,
2.3 2.3.4.5 + ‘ '
og ved Omvending
^3
_______
sinz^z-~+^7o...
Heraf udleder han atter
______
cos z — 1 — x2 = 1
_____
_______
1.2 1 1.2.3.4