9. Resultater af Newton’s Rækkeudvikl, og Integrationer. 519
mærker, at den derved dannede Række for ulige n
standser af sig selv og giver det alt bekjendte Udtryk
for Korden ti] den n-dobbelte Bue.
Ved mellem Udtrykkene for sin z og sin p at
borteliminere Leddet af 3die Grad faas paa Led af 5te
Grad nær
8 sin I z — sin z = 3 z,
hvilket stemmer med en af Huygens benyttet Tilnær-
melsesformel (se S. 429 nederst). Newton udleder end-
videre andre endnu nøjagtigere Tilnærmelser af Rækken
for arc sin vers x.
I sit Brev gaar han tillige noget nøjere ind paa
den numeriske Dannelse af Leddene i Rækken for en
Ellipsebues Længde og viser tillige, hvorledes man ved
Omvending kan danne Rækken for Ordinaten til El-
lipsen udtrykt ved Ellipsebuen altsaa for, hvad vi nu
kalde en elliptisk Funktion. Tillige omtaler han, at de
samme Opgaver kunne løses for Hyperblens Vedkom-
mende.
Leibniz viste sin Interesse for og Forstaaelse af
dette Brev ved netop at spørge om, hvad der savnedes,
nemlig om Begrundelsen af Binomialformlen og om en
noget udførligere Forklaring af den Fremgangsmaade,
der skal anvendes ved Rækkeudvikling af algebraiske
Funktioner og særlig ved Omvending. Det sidste havde
han dog faaet godt nok fat paa til paa egen Haand at
finde et Resultat, som Newton havde givet i Analysis
per æquationes infinitas, men ikke i Brevet, nemlig
Rækkeudviklingen for eæ. Tillige meddeler han sin
egen, tidligere af Gregory fundne (S. 428), Række, for
arc tgx og dens Anvendelse til at beregne n, idet
^ = arc^l = l_i+ +