Matematikkens Historie II

522 Infinitesimalregningens Opstaaen og første Udvikling. det fremkom i 1704. Den gaar ud paa ikke mindre end at gjøre Rede for, dels om et vilkaarligt Integral af et algebraisk Differential — som vi efter Leibniz sige — kan udtrykkes algebraisk, dels i modsat Fald at bestemme Antallet af simplere Integraler, hvortil den almindeligere Form, hvortil det hører, kan føres tilbage. Ved algebraiske Funktioner maa dog her foreløbig kun tænkes paa saadanne, hvis Irrationalitet (bortset fra brudne Exponenter i Potenserne kan udtrykkes uden Rodtegn under Rodtegn. En saadan Funktion — f(z) ville vi kalde den — kan i Almindelighed omskrives enten til Formen QzG~ 1 eller dog til Formen Q z^~r Rl~1 S“-1, hvor Q, R og S ere Polynomier i medens de ved græske Bogstaver betegnede Exponenter kunne være saa- vel negative som brudne. Skal u — F(z) fremkomme ved Kvadratur af y = maa F(z) paa sin Side have Formen G z® R} eller Gz® R?' S^, hvor G ogsaa er et Polynomium i Newton søger da først at bestemme Koefficienterne i de Polynomier Q i de førstnævnte Former, som, naar Polynomierne R og S ere givne, fremkomme ved Diffe- rentiation af Udtrykkene ze FG eller z6 Rl S^, Former, som de enkelte Led i F(z) maa antage. Ved Hjælp af de saaledes fundne Udtryk for Koefficienterne i Q kan han omvendt, naary2^) er given, efterhaanden bestemme Koefficienterne i Polynomiet G i F(z). I Almindelighed vil denne Bestemmelse ikke af- sluttes, men føre ti] en uendelig Række for G. En endelig Integration af det forelagte algebraiske Differen- tial faas kun, naar denne Rækkeudvikling af sig selv standser. Betingelserne herfor blive da de nødvendige og tilstrækkelige Betingelser for endelig algebraisk Inte- gration. Paa denne Maade maa det være, at de Leibniz