9. Resultater af Newton’s Rækkeudvikl, og Integrationer. 523
meddelte Resultater om Integration af algebraiske Dif-
ferentialer ere fundne. I sit Skrift anvender Newton
selv sin Methode til Udførelse af følgende Integrationer
p 25 4-— 8 __ s4
J 4- — 5 — s2 4- 8 s — 4 Cz3 — 3^4-2
p 3 — g3 x 4- 9 q2 x2 — qxA — 6 a?4 ,
og —---------------------------------- dx =
J (q2— x2) (q3-I-q2 x — qx2 — se3)*
3 q2 x + 3 x3
(g3 + q2 x — qx2 — x3^
I det Tilfælde, hvor Integrationen ikke kan udføres
under endelig Form, sker Reduktionen til visse sim-
plere Former ved Opstilling af en lineær Relation mel-
lem J z®~1 R'~1 dz, J' 1 7^—1 dz, ^z^Jr2rt~^
R^—l dz... og tilsvarende Relationer mellem Integraler
af Formen J z^ R^~^ S^~~1 dz. De udledes af Udtryk-
kene for Differentialerne af z^ R}- og z® R?‘ S^. Newton
viser dernæst, at Integraler af Formerne.
J 2#+^ RÅ+T dz
hvor <5, t og v ere vilkaarlige hele Tal, medens de øv-
rige Konstanter ere givne, kunne udtrykkes ved alge-
braiske Funktioner og et vist Antal, m, simplere In-
tegraler af samme Form, m er da henholsvis 1 mindre
end Antallet af Led i R og 2 mindre end Antallet af
Led i R og S tilsammentagne.
Det ses, at Newton til Udledelse af sine Keduk-
tionsformler ikke, som det nu sædvanlig sker, benytter
delvis Integration men blot algebraiske Relationer mel-
lem de tilsvarende Differentialer, og i den summariske
Angivelse af Resultaterne tager han ikke Hensyn til
saadanne specielle Tilfælde, hvor Reduktionerne blive
umulige.
og J 30+^ Rl+r S^+v dz