11. Newton’s «Principia».
543
at bevise, at, naar Banen er en saadan Kurve, Forholdet
RQ
QT^' eller’ S°m Vi Vi5!e skrive for at fastholde, at RQ
1DQ
Og QT skulle være uendelig smaa, Um. er kon-‘
QT2
stant.
I Beviset herfor (I, 11) benytter Newton endvidere
følgende Hjælpelinier (Fig. 31): Diameteren GP til det
bevægede Punkt og dens konjugerede Diameter DK,
der skiære hinanden i Kurvens Centrum C; Radius
vector SP skjærer DK i E-, Linien PF er i F vinkel-
ret paa DK, og Linien Qv, som er parallel med DK,
skjærer SP og CP i x og v. For Nemheds Skyld ville
vi tillige sætte CP = a1 og CD = br og kalde Kurvens
Halvaxer a og b.
Da er paa Grund af de ligedannede Trekanter
xPv og EPC og paa Grund af, at vQ er en til Dia-
meteren GP svarende Ordinat
d EP D EP a-.2 vQ2
xP = -^i5.vP = . -L.
CP a1 6/ Go
I det paagjældende Grænsetilfælde kan man sætte
RQ i Stedet for xP, xQ i Stedet for vQ og 2ar i
Stedet for Gv. Man finder da
RQ EP xQ2 _ EP3
QT2 ~ ltm- 2 6/- QT2 ~ 2b12.FP2’
hvor den sidste Omdannelse beror paa, at Trekanterne
TQx og FPE ere ligedannede. Idet Arealet bx.FP
af et Parallelogram dannet af to konjugerede Halv-
diametre har den konstante Værdi ab, faas endvidere
j. RQ EP3
Ltm- QT2~ 2a2b2’