12. Leibniz indtil Grundlæggelsen af Differentialregn. 561
(smig. iøvrigt Fermat, S. 379), og havde derved et Middel
til en Rækkeudvikling af samme Art som den, Mer-
cator havde anvendt paa Hyperbelarealer (S. 439).
Han fandt derved den samme Rækkeudvikling for
arc tgx, som Gregory tidligere havde fundet (S. 428),
Denne indbefatter særlig, at
Newton har vel (S. 520) gjort en begrundet Ind-
vending mod den praktiske Anvendelighed af denne
Række; men Leibniz selv har til Rækkeudviklingen
knyttet theoretiske Undersøgelser af betydelig Interesse.
Først maatte det Spørgsmaal rejse sig, om Rækkerne
ikke ligesom de, han tidligere havde undersøgt, kunde
summeres under endelig Form. En sikker Begrundelse
af, at dette ikke er Tilfældet, lod sig dog paa den Tid
ikke opnaa for selve Rækken for n. Skjønt Leibniz
ikke godkjendte Huygens’ Indvendinger mod Gregory’s
Bevis for, at de cirkulære Funktioner ikke ere alge-
braiske, indsaa han nemlig godt, at det af de S. 426
anførte Grunde ikke kan anvendes paa seive n. Et
virkeligt Exempel paa, at. et ved en Kvadratur (Integra-
tion) fremkommende Udtryk kan være transcendent i
Almindelighed, men algebraisk for specielle Værdier af
Grænserne, havde han allerede i sit nys omtalte Cyklo-
ideafsnit. Et andet meddeler han senere i Acta Eru-
ditorum 1684. Det er Kurven
z/4 — 6 h2y2 + 4 y2 x2 4- A4 = 0,
hvis Kvadratur i Almindelighed fører til transcendente
Funktioner, medens for et af y’s ved denne Ligning
bestemte Udtryk
J/i ph__________ p/i_____________
ydx = \2h2 — x'2 dx— \ h2 — x2 dx = | h2.
o Jo Jo
36