Matematikkens Historie II

12. Leibniz indtil Grundlæggelsen af Differentialregn. 575 tiationsregler havde Midler til langt hurtigere end denne at opdage, om et forelagt Udtryk kunde dannes ved Differentiation eiler ikke. Naar han saaledes ved sine ligedannede Trekanter — hvilke Barrow ogsaa benyttede — havde omskrevet en geometrisk forelagt Opgave af den Natur til x~ dx =f{x)— y, maatte hans Kjendskab til Differentialet af et Produkt vise ham, at d (xy) = f(x) dx, hvorved Reduktionen til Kvadratur er opnaaet. Hvad vi her kalde f(x), fremstiller han i sit Brev ved en Række. Med Hensyn til Spørgsmaalet om Behandlingen af omvendte Tangentopgaver saavel som i alle andre Hen- seender bliver det betydningsfuldeste fra Leibniz’ Side i denne Korrespondance hans Meddelelse i Begyndelsen af sit andet Brev (1677) om sin Brug af Differentiations- tegnet d og om de simpleste og derfor vigtigste Regler for Regning med dette Symbol. Han betegner Differen- tialerne dx og dy som de uendelig smaa Differenser mellem de paa hinanden følgende Værdier af x og af y, uden nogen nærmere Forklaring af disse Begreber. Han opstiller Reglen for Dannelsen af Differentialet af en Potens og af et Produkt, og knytter dertil Reglen for at differentiere en hel og rational Funktion af x og y eller en algebraisk Ligning paa hel og rational Form. Han viser, at Sluse’s Tangentregel (S. 472) følger deraf, men bemærker tillige, at hans egen Methode ogsaa kan an- vendes, baade naar der er flere Variable, og naar der ind- gaar Rodstørrelser. Disse sidste behandler han i Tilslut- ning til, hvad Newton allerede i sit første Brev i Forbin- delse med Binomialformlen havde meddelt ham om Brug af brudne og negative Exponenter. Reglen for Differen- tiation af en Rodstørrelse indbefatter han derfor i dxz = zx2-1 dz. At han ved Anvendelsen heraf paa det Tilfælde, hvor z — gjør sig skyldig i en Fejl-