Matematikkens Historie II

13. Begyndels. af en ny Periode i Mathematik.s Historie. 597 paa infinitesimale Opgaver. Ligninger mellem Koordi- naterne x og y og deres Differentialer dx og dy og Bueelementet ds kunde man nemlig nu opstille ved Hjælp af den karakteristiske Trekant, og ved Udvidelse af de derfor til Grund liggende Betragtninger dannedes ogsaa Differentialligninger af højere Orden. Samtidig udvikledes, som vi have set, Hjælpemidlerne til saa- danne Ligningers Integration. Paa denne Maade blev ikke blot efterhaanden Løsningen af saadanne Opgaver gjort mulig for større Kredse; men selve Mestrene for denne Behandlingsmaade førtes gjennem Løsningen af de stillede Opgaver videre til nye Opgaver, som kræ- vede en videregaaende Udvikling af Hjælpemidlerne. Derved fremmedes, som vi have berørt, Integralregningen, men tillige kom man ind paa Spørgsmaal, som krævede en endnu videregaaende Art af Infinitesimalundersøgelser. Ved disse lagdes Grunden til Variationsregningen. Dette vil forstaas, naar vi blot nævne nogle af de vigtigste af de Opgaver, som man saaledes behandlede. Af geometrisk bestemte Kurver beskjæftigede Leibniz og Huygens sig i 1693 med den Kurve, som den sidste har givet Navnet Traktorie, og som har den Egenskab, at Tangenten regnet mellem Røringspunktet og en fast ret Linie har en given Længde. Leibniz har herved næppe erindret, at Newton i sit andet Brev til ham 1676 havde nævnt Bestemmelsen af denne samme Kurve som et Exempel paa en omvendt Tangentopgave, som let kan løses og afhænger af Hyperblens Kvadratur, det vil sige af logarithmiske Funktioner. Huygens udvidede Opgaven saaledes, at Stykket af Tangenten skulde kunne afskjæres mellem Røringspunktet og en vilkaarlig krum Linie. — 1698 indførte Johan Bernoulli, i en vis Over- ensstemmelse med sin alt nævnte Fremstilling af en Differentialligning af første Orden ved et System af