Indbydelsesskrift til Kjøbenhavns Universitets Aarsfest i anledning af Hans Majestæt Kongens Fødselsdag den 8de April 1896
Heri: Om den historiske Udvikling af Matematikken som exakt Videnskab indtil udgangen af det 18de Aarhundrede

29 Synthese, som i sig selv giver fuld Sikkerhed, og udelade den Analyse, som har ført dertil. Grjør Analysen derimod den Sætning, for hvilken man søger et Bevis, eller den Konstruktion, som man ønsker ud- ført, afhængig af noget vitterlig falskt eller umuligt, er det derved umiddelbart godtgjort, at den undersøgte Sætning eller Konstruktion selv er urigtig eller umulig. Derved faas de saakaldte antithetiske Beviser, som, da de skjønt ana- lytiske i sig selv ere fyldestgjørende, indgaa i Euklids ellers synthetiske Fremstilling. Det er klart, at den her omtalte Analyse og Synthese har kunnet gjøres til Gjenstand for mange logiske Under- søgelser. Deres hensigtsmæssige Forening har spillet en vigtig Rolle ved en mathematisk Undersøgelse, som var af stor Betydning for Grækerne. Vi have fremhævet, at den geometriske Konstruktion for dem særlig tilsigtede at sikre Existensen eller Muligheden af det konstruerede ved direkte at tilvejebringe det eller, for saa vidt Konstruktionen kun beskrives, men ikke praktisk gjennemføres, ved at vise, at det kan tilvejebringes. Naar da en Opgave stilledes, kom det særlig an paa at angive Grænserne for dens Mulighed. Det var Analysens Sag at vise dens Umulighed, naar Græn- serne overskrides, altsaa at vise, at de ved Grænserne satte Betingelser ere nødvendige. Dette skete ved et antithetisk Bevis. Derefter fulgte Opgaven med en udtrykkelig An- givelse af Grænserne, i den saakaldte Dior isme, og Løsningen af den saaledes begrænsede Opgave viste, at Betingelserne vare tilstrækkelige. Paa den Maade viser, for at nævne det simpleste Exempel, Euklid først, at en. Side i en Trekant nødvendigvis er mindre end Summen af de to andre; at Størrelserne af Siderne i en Trekant ikke ere underkastede andre Betingelser end disse, viser han dernæst ved virkelig at konstruere en Trekant med Sider, der tilfredsstille dem. Den Nøjagtighed, hvormed allerede Euklid følger de lier antydede Regler og faar Stoffet, saavel det ældre som