Indbydelsesskrift til Kjøbenhavns Universitets Aarsfest i anledning af Hans Majestæt Kongens Fødselsdag den 8de April 1896
Heri: Om den historiske Udvikling af Matematikken som exakt Videnskab indtil udgangen af det 18de Aarhundrede

34 som man nu undertiden danner ved en Sammenføjning af alle de samme Attributer i en enkelt formel Definition. For ret at forstaa de Gamles Postulater og Axiomer og den Adskillelse, som de gjøre mellem disse, maa man erindre den alt omtalte Adskillelse mellem Læresætninger (Theoremer), som skulle bevises, og Opgaver (Problemer), som skulle løses ved geometrisk Konstruktion. Man maa heller ikke glemme den logiske Betydning, som denne sidste havde, nemlig som Middel til at tilvejebringe det, som man konstruerer, eller da Konstruktionen kun theoretisk angives og bevises, som Bevis for, at dette existerer. I Spidsen for disse maa gaa. Existenspaastande eller Fordringer af Anerkj endelse af, at man kan tilvejebringe, eller tænke tilvejebragt, visse mathe- matiske, sædvanlig geometriske Objekter med bestemte Egen- skaber. Disse findes i Postulaterne. Man siger sædvanlig, at disse indeholde Fordringen om, at de elementær-geome- triske Konstruktioner skulle kunne udføres ved Lineal og Passer. En saadan Udtalelse er urigtig, idet de omtalte In- strumenter slet ikke nævnes, og den er vildledende, idet den fører Tanken bort fra Konstruktionens logiske Betydning. Det er Existensen af ret Linie og Cirkel, bestemte ved to Punkter, eller ved Centrum og Radius, som postuleres, og er denne Existens anerkjendt, vil man vise Muligheden af ved deres Hjælp at tilvejebringe bl. a. ogsaa de Figurer, som — i den elementære Mathematik — fremstille Kvadratrødder og andre almindelige Størrelser. Saaledes forstaar man, at ogsaa den nys omtalte Bestemmelse af Skjæringspunktet mellem rette Linier i samme Plan bliver et nødvendigt Postulat (det 5te) ■ thi man kommer ikke langt i sine Konstruktioner, naar man skal nøjes med at trække rette Linier gjennem givne Punkter og ikke tillige tør brage de derved bestemte Skjæringspunkter. Disses Existens kræver et Postulat, som dog maa indskrænkes saaledes, at det Tilfælde, hvor Linierne ere parallele, karak- teriseres og undtages. Den ensidige Vægt, som man har lagt paa Undtagelsen, har i Tidernes Løb medført megen