Indbydelsesskrift til Kjøbenhavns Universitets Aarsfest i anledning af Hans Majestæt Kongens Fødselsdag den 8de April 1896
Heri: Om den historiske Udvikling af Matematikken som exakt Videnskab indtil udgangen af det 18de Aarhundrede

69 uafhængig Fremstilling af, hvorledes y varierer som af- hængig af x. Naar Ligningen mellem x og y var algebraisk, fandt Newton saaledes et almindeligt Middel til at fremstille en algebraisk Funktion. En tilsvarende Fremstilling af transcen- dente Funktioner fik han derved, at Formaalet med hans Rækkeudviklinger netop var at udføre Kvadraturer, hvilket her betyder det samme som at integrere de udviklede Funk- tioner. Herved fik lian ogsaa Rækkeudviklinger for transcen- dente Funktioner, foreløbig særlig for cirkulære og logarith- miske. Da hans Rækkeudviklingsmethode ogsaa kunde an- vendes, naar Ligningen mellem x og y selv allerede inde- holder en uendelig Række, kunde han vende de fundne Rækker om og foreløbig finde Udviklinger for trigonometriske og cirkulære Funktioner. Ja ved. Hjælp af de ubestemte Koefficienters Methode dannede han endog Rækkeudviklinger for Funktioner fremstillede ved Differentialligninger, og disse Rækkeudviklinger give saadanne Funktioner en af Difte- rentialligningen uafhængig Existens. Logisk set, beviste han vel ingenlunde det samme som i vort Aarhundrede Cauchy, at en Differentialligning i x og y i Almindelighed har et Integral; men lian gav Frem- gangsmaader, ved Hjælp af hvilke man for en vilkaarlig given Differentialligning, som ikke frembyder for store tek- niske Vanskeligheder, kan bestemme Integralet med saa stor Nøjagtighed, som man vil. Newton nøjedes dog i de fleste af de her omtalte Tilfælde med at vise, hvorledes Rækken dannes; men de Oplysninger, han paa flere Steder giver, vise en rigtig Opfattelse af Konvergensspørgsmaalet. Brugen af de uendelige Rækker udgjorde det ene af de store ledende Princip er i Newtons Infinitesimalregning. Den anden ledende Tanke var den, at de Operationer, som Leibniz snart efter kaldte Differentiation og Integration, ere indbyrdes omvendte Operationer. Af disse havde man, som alt omtalt, længe udøvet den sidste under Navn af Kvadra-