Historisk Mathematik
Et indledende Kursus

228 REGULÆRE LEGEMER. heden ethvert af Ikosaédrets Hjørner give det, og vi få. således et Legeme begrændset af ligeså mange Sideflader, som Ikosaédret havde Hjørner, nemlig 12, det femte regu- lære Legeme, Tg. 123, Dodekaedret. Af Kanter har det åbenbart 30 ligesom Ikosaédret, nemlig 5 for oven (a) og 5 for neden (&), 5 skråt nedad fra hine (c) og 5 skråt opad fra disse « samt et Belte på 10 (e). Da Dodekaedrets Hjørner fremkom i Midten af hver af Ikosaédrets Side- flader, har det ligeså mange Hjørner som Ikosaédret har Sideflader, nemlig 20. Man indser let, at hvis atter Midtpunkterne af Dodekaedrets 12 Femkanter forbindes, fåer man et fem- sidet Hjørne i hver af disse Midtpunkter, og at herved netop opståer et indre Ikosaeder, der atter kan afføde et Dodekaeder, osv. i det uendelige. § 172. Pythagoras synes at have været klar på alle disse Forhold, dog for Dodekaedrets Vedkommende rimeligvis senest, og muligvis er det først hans nærmeste Lærlinger, der have udfyldt de regulære Legemers Tal' med Dodekaedret. Men senere er det i hvert Fald ikke sket, og det tør da anses for rimeligt, at Pythagoras, eller i alt Fald tidligt hans Skole, var klar på, at der ikke fandtes andre regulære Legemer end de nævnte 5. Man har uden Tvivl nu — eller måske allerede før Er- kjendelsen af de sidste to — gået sammensættende til værks efter en lignende Tankegang som følgende. Sammensætning af de ligesidede Trekanter til et tresidet Hjørne fører til Tetraedret, til et firsidet Hjørne fører til Oktaédret, til et femsidet, til Ikosaédret. Nu var det naturligt at tænke på et sexsidet Hjørne. Men da hver af den ligesidede Trekants Vinkler er | ret, ville 6 af disse give 4 rette, hvilket netop falder glat ud i et Plan (Tg. 8, jfr. §§ 103 og 159), så at der ikke bliver noget Hjørne af denne Sammensætning. I det Hele skjønner man let, at for at der skal' kunne blive Tale om et Hjørne, må de Vinkler, der