Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

 206 8 Kap. II. Mathematiken som rationel Videnskab. For at holde det ud fra hinanden, som skal udgøre Genstanden for vor Sam- menligning, skal vi begynde med at omtale de Krav til en systematisk Behandling af Mathematiken, som Platon gjorde sig til Talsmand for, som findes gennemførte i Euklid’s Elementer og er fulgte af hans græske Efterfølgere, og som endnu danner en Rettesnor for Mathematikens baade skolemæssige og videnskabelige Behandling, om end baade Udgangspunkt og dermed Formerne for Gennemførelsen har ændret sig. Disse Krav gaar ud paa, at Mathematiken skal være en logisk Videnskab, hvor hvert enkelt Resultat naas som en Følge af de foregaaende. Sætninger og Beviser maa udtrykkes dels ved saadanne Ord af det sædvanlige Sprog, som kan antages vel kendte og fri for enhver Tvetydighed, dels yed Ord og Symboler, for hvis Be- tydning man forud gør Rede. Denne Redegørelse findes i Definitioner, som kan være saa fuldstændige, at de selv indeholder de Forudsætninger, som ikke selv bevises, men danner Grundlaget for det derpaa byggede System; men de fore- løbig opstillede Definitioner kan ogsaa indskrænkes til korte Indførelser af de Ord eller andre Symboler, hvortil de nye Begreber skal knyttes; de Egenskaber, som nærmere skal karakterisere disse Begreber og danne Udgangspunktet for den paa- følgende Undersøgelse, fremsættes dernæst i Postulater eller Regler for Operationer og Regninger med de indførte Symboler. I dette sidste Tilfælde bliver Postulaterne i logisk Henseende en uundvær- lig Fuldstændiggørelse eller snarere den væsentlige Del af Definitionerne. Som saadanne fremtræder de i Pasch’s og hans Efterfølgeres moderne Undersøgelser af Geometriens Grundlag. Og allerede Euklid bærer sig i de fleste Tilfælde ad paa samme Maade. Saaledes er den opstillede Definition paa en ret Linie kun en fore- løbig Indførelse af dette Begreb; men de Egenskaber, som danner Udgangspunktet for den paafølgende geometriske Undersøgelse af den rette Linie og de deraf dan- nede Figurer, fremsættes først i Postulaterne. En lignende Rolle spiller de paa- følgende „Almindelige Begreber“, hvori de Kendetegn nævnes, som karakteri- serer Begrebet Størrelse og dets Fremtræden i Geometrien. Den her skildrede, om man vil, definerende Rolle spiller de Ire Arter af For- udsætninger i det af Euklid opførte System. Hvorfor hver enkelt Forudsætning er medtaget, forklares først ved den Brug, der gøres af den i det derpaa byggede Sy- stem. Der er allsaa ikke nærmest Tale om en Række Forudsætninger, som man nu en Gang har, og et Arbejde paa dernæst at bringe det mest mulige ud af disse Forudsætninger. Rent formelt faar ikke blot Valget af dem, men de selv et vist Præg af Vilkaarlighed, idet der ikke siges et Ord om, hvorfra man har dem. De fremtræder hos Euklid som umiddelbart indlysende, en Opfattelse, somjman fra Oldtiden af ogsaa i Filosofien har forbundet med disse Axiom er, som de